A.方法概述
折叠问题(对称性问题)是三大图形变换中的一个重要问题，是近年来出现频率较高的一类问题。折叠操作是将图形的一部分沿直线折叠180，使其与直线同侧的另一部分图形重叠或不重叠，其中‘折叠’是过程，‘折叠’是结果。折叠问题的本质是图形的轴对称变换，折叠突出了轴对称问题。
1.折叠问题(折叠变换)本质上是轴对称变换，折叠的重叠部分必须全等。
2.折叠是一种对称变换，属于轴对称。对称轴是连接相应点的直线的垂直平分线。折叠前后，图形的形状和大小不变，位置变化，对应的边和角相等。
3.对于复杂的折叠问题，您实际上可以折叠图形。画图时，先画折叠前后的图形，这样容易找到图形之间的数量关系和位置关系。
4.在矩形(纸)折叠问题中，重叠部分一般会是以折痕为底边的等腰三角形。
5.折叠问题中方程的构造方法；
(1)利用直角和等边或折叠得到的角，设所需线段长度为x，然后根据轴对称的性质，用含x的代数表达式表示其他线段的长度，选择一个合适的直角三角形，用勾股定理列出方程进行求解。
(2)找出相似三角形，根据相似比得出方程。
B.热点透视
类型1通过构建方程找到相关的定量值。
1.(睢宁县中期，2019年春季)如图，在长方形的一张ABCD纸上，AB=6，AD=8。折叠矩形纸ABCD，使B点与D点重合，折痕EF的长度为()
A.19/2B.15/2C.8D.7
【解析】连接BE，设e是EGBC是g，设AE=x，则de=be=8 x
3.(2019滨江区某模特)如图，将长方形纸片ABCD的四个角向内折叠，刚好拼成一个四边形的EFGH，没有缝隙和重叠。设AB=A，BC=B，如果Ah=1，那么()
2型动态折叠问题(难点)
这类问题在折叠动态变换的过程中，往往会涉及到相关的绘图，从而使问题得到正确的归类和解决。应该指出的是：
(1)如果动态折痕穿过固定点，则对应点在圆上；折痕是对应点连接的中垂线。经常需要根据不变特征对图形进行分析、变换和完善。综合题中也会涉及到与折叠思想相关的结构，比如动点折叠成动点折叠。
4.(2019驻马店模块)如图，矩形4BCD中AB=10，AD=12，E点是BC线上的一个动点，连接AE。沿着直线AE折叠ABE，B点落到F点，连接CF和BF。当BFC是等腰三角形时，BE的长度是_ _ _ _ _ _。
5.(江阴市2019年春季)如图所示，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=5cm，移动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿AB线向B点移动。连接DP，沿DP折A，使A点落在A’点。当BPA’是直角三角形时，求P点的移动。
【解析】本题考查折叠问题：折叠前后两个图形全等，即对应的线段相等；对应的角度相等。矩形的性质和勾股定理也被检查。注意，这个问题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解。
分三种情况进行讨论。当A、P、B为直角顶点时，可以求出AP的长度。
(1)当b ap=90时，通过折叠，p ad=a=90，
b ad=b app ad=180，点b，a，d在一条直线上，
设AP＝xcm，∴A′P＝x，B P＝12﹣x，A′B＝13﹣5＝8，
∴Rt△A′PB中，有x+8＝（12﹣x），解之得：x＝10/3；
∴点P的运动时间为10/3÷1＝10/3s
（2）当∠A′P B＝90°时，∴∠A′P A＝90°，
又∵∠DA′P＝∠A＝90°，∴四边形APA′D是矩形，
由折叠的性质得，A′P＝AP，∴四边形APA′D是正方形，
∴AP＝AD＝5，∴点P的运动时间为5÷1＝5s；
（3）当∠A′B P＝90°时，不存在；
综上所述，符合要求的点P的运动时间为10/3s 或5s．
折叠问题是初中三大图形变换之一，厘清翻折前后图形的线段和角的数量关系是我们解题关键。找到变化前后哪些量未变，哪些量变了。借助于数学思想，观察图形的变化规律，应用数学模型来解决问题。
C．最新考题精炼
5．（2019桐梓县模拟）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP，BH．
（1）求证：BP平分∠APH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．
6．（2019河西区模拟）已知：矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上
（Ⅰ）如图①，当EP⊥BC时，①求证CE＝CN；②求CN的长；
（Ⅱ）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长．
练习参考答案
1.C 2.B 3.C 4. 9/2或9．
5.【解析】（1）由折叠的性质可得∠EPH＝∠EBC，EB＝EP，可得∠EBP＝∠EPB，即可证∠APB＝∠BPH＝∠PBC，可得结论；
（2）作BQ⊥PH，通过证明△APB≌△QPB和△BHQ≌△BHC，可得AP＝PQ，AB＝BQ，QH＝HC，即可求△PDH的周长等于8是定值．
6.【解析】（Ⅰ）①由翻折变换的性质得出△AME≌△PME，得出∠AEM＝∠PEM，AE＝PE，由矩形的性质得出∠B＝90°，AB∥CD，AB⊥BC，证出AB∥EP，由平行线的性质得出∠AME＝∠PEM，得出∠AEM＝∠AME，因此AM＝AE，由平行线得出AN/CN=AE/CE，即可得出结论∴CN＝CE；
②设CN＝CE＝x，由矩形的性质和勾股定理得出AC＝5，则PE＝AE＝5﹣x，由平行线得出EP/CE=AB=AC=4/5，求出x＝25/9即可；
（Ⅱ）由折叠的性质得AE＝PE，由三角形的三边关系得，PE+CE＞PC，由AC＞PC，得出PC＜5，点E是AC中点时，PC最小为0，当点E和点C重合时，PC最大为AC＝5，即可得出CP的长的取值范围；当点C，N，E重合时，PC＝BC+BP＝5，得出BP＝2，由折叠知，PM＝AM，在Rt△PBM中，PM＝4﹣BM，根据勾股定理得出方程，解方程求出BM＝3/2，在Rt△BCM中，根据勾股定理即可得出结果．当CP的长最大时MN的长为3√5/2．
